Фамилия Козачку — довольно редкая и необычная для русского уха. В ней слышится украинский или южнорусский говор, и первая мысль — о связи с казачеством. Однако прямой связи с «казаком» здесь нет, хотя корень действительно тот же.

Разбираем словообразовательную модель. Фамилия стоит в форме родительного или дательного падежа единственного числа: Козачку. Это типичная украинская фамилия на -ко, которая в русской традиции могла не склоняться или застыть в такой форме. Исходная основа — «козак» (через «о», а не через «а» в первом слоге — южнорусское и украинское произношение). Суффикс -к- в украинских фамилиях часто указывал на прозвище или профессию: Козак → Козачко («маленький казак» или «сын казака»). Форма «Козачку» — это либо украинский дательный падеж (кому? Козачку), либо застывшая форма отчества (Козачков сын, сокращённо Козачку). В русском быту такую фамилию могли записать «на слух» от носителя, который говорил: «Я — Козачку», то есть из рода Козачко.

По смыслу прозвище «Козак» в XVI–XVIII веках давали не только запорожским воинам. В народе так могли называть вольного, независимого человека, удальца, а иногда и батрака, нанятого на сезонные работы (в некоторых говорах «козак» — работник). Фамилия Козачку, скорее всего, идёт от такого прозвища, а не от прямого указания на службу в войске. Географически фамилия тяготеет к югу России (Кубань, Ростовская область, Ставрополье) и восточной Украине, где фамилии на -ко особенно распространены.

В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна в «Русских фамилиях») форма на -ко разбирается как характерная для украинской антропонимии, но в России такие фамилии часто русифицировали, добавляя окончание -ов: Козачков. Собственно «Козачку» — более редкий, архаичный вариант, сохранивший местную грамматику. Встречается и написание через «а» — Казачку, но это уже вторичное, под влиянием литературного русского произношения.

Так что если вы носите фамилию Козачку, ваши предки, скорее всего, были выходцами с южных окраин, где прозвище «козак» давали людям с характером — смелым, независимым или просто служившим в казачьих общинах. Фамилия не знатная, не дворянская, а народная, крестьянская или казачья, и это делает её живым свидетельством быта и языка южнорусских земель.