Фамилия Кожух произошла от прозвища, которое, скорее всего, закрепилось за человеком по роду его занятий. В основе лежит слово «кожух» — так в старину называли тулуп из овчины, верхнюю одежду мехом внутрь. Соответственно, Кожухом могли прозвать портного, который такие тулупы шил, или торговца, который ими торговал. Слово это общеславянское и напрямую связано с «кожей» — материалом, из которого делали одежду.

Модель образования фамилии проста и типична для восточнославянской ономастики: прозвище Кожух перешло в фамилию без добавления суффикса, то есть путём «нулевой» суффиксации. Это одна из древнейших моделей, характерная для прозвищ, которые закрепились в качестве родового имени в XV–XVII веках. Встречается и более распространённый вариант с суффиксом принадлежности — Кожухов, но форма Кожух сохранилась как исходная, без изменений.

В исторических документах фамилия фиксируется рано. С. Б. Веселовский в своих исследованиях упоминает Ивана Григорьевича Кожуха Кроткого, дьяка, жившего в 1557 году, а также Ивана Александровича Кожухова, записанного в 1505 году на Волоке Ламском. Эти записи подтверждают, что прозвище бытовало в среде служилых людей и дьячества, то есть не было исключительно крестьянским или ремесленным.

Географически фамилия Кожух распространена по всей Украине и в южных областях России, что связано с диалектным употреблением слова «кожух» именно в значении «тулуп». В северных говорах это слово могло иметь и другие значения, например, так называли кузнечный мех или даже кожуру, но для фамилии основным остаётся «профессиональное» толкование.

Версия о происхождении от нецерковного имени Кожух маловероятна: таких имён в святцах нет, а в древнерусской антропонимии прозвища от названий одежды встречаются, но редко становятся личными именами. Поэтому связь с ремеслом остаётся самым надёжным объяснением.