Фамилия Крапоткина — это фонетический вариант более распространённой фамилии Кропоткина. Разница в первой гласной («а» вместо «о») возникла из-за «акающего» произношения, свойственного южнорусским и среднерусским говорам: в безударной позиции звук «о» перешёл в «а», а на письме это закрепилось. Так что оба варианта, Кропоткина и Крапоткина, — родственники по происхождению.

В основе лежит прозвище Кропотка. В старину так называли человека неугомонного, постоянно в делах. Прямая связь — с глаголом «кропотать», у которого два основных значения: «хлопотать, суетиться, заботиться, возиться» и «ворчать, брюзжать, браниться, сердиться». Значит, предок-носитель прозвища мог быть либо заботливым хлопотуном, либо сварливым человеком, недовольным по любому поводу. Оба значения бытовали в народной речи.

Есть и менее вероятная, но любопытная версия — от глагола «кропить» (окроплять, брызгать). В этом случае прозвище могло стать профессиональным: Кропоткой называли карточного шулера, который с помощью крапа (особых пометок) помечал карты. Версия соблазнительная, но менее убедительная, чем связь с характером.

Третья гипотеза отсылает к слову «кропкий» — «ломкий, хрупкий». Если так, прозвище описывало внешность: худой, низкорослый человек, которого легко «сломать». Но и это объяснение уступает по распространённости первому, поведенческому.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Кропотк- добавили суффикс -ин, указывающий на принадлежность (чей? — Кропоткин, то есть сын Кропотки). В женском роде — Крапоткина. Таким образом, родоначальником был человек с прозвищем Кропотка, а его потомки, в зависимости от говора, записывались то через «о», то через «а».