Фамилия Красношлыков — из числа тех, что не дают заскучать этимологу. Её основа — прозвище Красношлык, а в нём два корня: «красный» и «шлык». Со «шлыком» всё не так однозначно. В северных и центральных губерниях России так называли старинный головной убор замужних крестьянок — род повойника, полотняную шапочку, которую носили под платком. Но было и другое значение: шапка конической формы, высокий колпак, который могли носить и мужчины. В словаре Даля «шлык» — это ещё и «шапка, колпак, чепец», причём слово общеславянское, родственное польскому «słyk» (головной убор) и чешскому «šlik» (капюшон).

Красный цвет в прозвище — не обязательно про оттенок. В старину «красный» означало не только цвет, но и «красивый, нарядный, парадный». Красношлыком могли назвать человека, который носил яркий, заметный головной убор, либо того, кто шил или продавал такие шапки. Вторая версия правдоподобнее: прозвища по ремеслу и характерной одежде давали часто и охотно.

Модель образования фамилии — типичная для русского севера и центра: прозвище на -о + патронимический суффикс -ов. Суффикс указывает на принадлежность: Красношлыков — сын Красношлыка. В южных и западных регионах та же основа дала бы фамилию Красношлыченко или Красношлык (без суффикса).

Стоит отметить, что фамилия редкая. В дореволюционных источниках она встречается в основном в Воронежской и Курской губерниях, что указывает на южнорусское происхождение конкретного рода. При этом само слово «шлык» в тех краях было в ходу: так называли и шапку, и даже копну сена конической формы.

Сравните с однокоренными фамилиями: Шлыков (от «шлык» без уточнения цвета), Красношапкин, Красношапочников. Красношлыков стоит особняком — у него двойная конкретика: и цвет, и форма головного убора. Такие прозвища давали людям с яркой внешней приметой, и она пережила века в фамилии.

Если ваши предки носили фамилию Красношлыков, скорее всего, среди них был человек, которого в округе знали по красной шапке — либо как мастера, либо как щеголя. В любом случае, прозвище не обидное, а скорее уважительное или шутливое, как часто бывает с прозваниями по одежде.