Фамилия Кривокуров — один из ярких примеров того, как русская фамилия может родиться из прозвища, построенного на противопоставлении. Её основа — прилагательное «кривой» и существительное «кур». В древнерусском языке «кур» — это петух. Таким образом, Кривокуров буквально означает «Кривой петух». Прозвище могли дать человеку с характерной внешностью (например, косоглазому или хромому), чей облик или поведение напоминали петуха — возможно, задиристого, но с каким-то изъяном. Сочетание «кривой» и «петух» звучало метко и язвительно, такие прозвища в крестьянской среде были обычным делом.

Однако есть и вторая, более прозаичная версия. Слово «кур» в русских говорах могло означать не только птицу, но и дым, колоть, сажу — отсюда «курить» (жечь, дымить). Тогда «Кривокур» — это человек, который криво, то есть косо, кладёт печь или разводит огонь, отчего дым идёт не в трубу, а в избу. Такое прозвище могли дать неумелому печнику или просто неаккуратному хозяину. Эта версия менее популярна, но лингвистически вполне состоятельна и объясняет фамилию без зоологической метафоры.

Фамилия образована по стандартной модели: к основе прозвища «Кривокур» добавился типичный русский суффикс принадлежности -ов. Кривокуров — сын Кривокура. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или посадская. Она встречается в разных регионах, но заметно чаще — на юге России, в Воронежской, Ростовской и Волгоградской областях, а также в некоторых районах Украины. Это подтверждает, что прозвище бытовало в говорах, где слово «кур» (петух) было особенно распространено.

В отличие от многих фамилий с корнем «крив-» (Кривошеев, Криворотов), которые описывают часть тела, Кривокуров уходит в область сравнения с животным или действием. Это делает её более образной и редкой. Встречаются и однокоренные варианты: Кривокур, Кривокуровский, но основная масса носителей — именно Кривокуровы.