Фамилия Кудря — это прямое указание на внешность или характер предка, превратившееся в наследственное имя. Чаще всего Кудрей прозывали человека с вьющимися от природы волосами. В народе это качество всегда было заметным и обыгрывалось в поговорках: «С радости кудри вьются, с печали секутся», «Распустила русы кудри по плечам», «Кудри кудрями, а дело делом». Над кудрявым щеголем даже подшучивали: «Одна кудря стоит рубля, другая — тысячи».

Но прозвище могло относиться и к характеру. Кудрей называли человека красноречивого, но с изысканно-манерной, неуместно приукрашенной речью. Есть и третья версия — профессиональная. В этом случае прозвище получал тот, кто часто делал выговоры, бранил кого-то за проступок, то есть «кудрявил» (в значении «журил», «выговаривал»). Все три значения — внешность, манера говорить и склонность к поучениям — могли стать основой для одной и той же фамилии, в зависимости от того, какая черта была ярче у конкретного человека.

Фамилия образована без суффикса, от прозвища Кудря, и застыла в форме именительного падежа. Это так называемая «фамилия-прозвище», характерная в основном для украинской и южнорусской традиции, где такие бессуффиксные формы встречаются чаще, чем на севере. В русском языке ей соответствуют фамилии на -ов/-ев (Кудрявцев, Кудрин), но форма Кудря сохранила исходный вид прозвища. Сравните с другими подобными фамилиями: Шуба, Голова, Сова — все они образованы по той же модели.

Встречается фамилия Кудря повсеместно, но заметно чаще на Украине, в Белоруссии и в южных областях России. В дореволюционных источниках носители фамилии фиксируются среди казачества и крестьянства — сословий, где прозвища закреплялись особенно прочно и передавались детям без изменения.