Фамилия Кулибякин — редкий случай, когда основа слова не даёт однозначной подсказки, а суффикс указывает на конкретную модель образования. Разберёмся по порядку.

Суффикс -ин говорит о том, что фамилия образована от имени или прозвища, оканчивающегося на -а или -я: Кулибяка. Это типичная патронимическая (или матронимическая) модель: «чей?» — Кулибякин, то есть сын Кулибяки. Само прозвище Кулибяка — тёмное. В русских говорах слово «кулибяка» не зафиксировано в качестве нарицательного. Ближайший аналог — «кулебяка», известный пирог с начинкой, но связь здесь фонетически неочевидна: замена е на и в корне под ударением (Кулибяка) маловероятна для живого говора. Скорее всего, перед нами диалектное или искажённое прозвище, которое могло означать что-то вроде «нескладный, мешковатый человек» — по аналогии с тем же пирогом, но в переносном смысле.

Другая версия — связь с тюркскими корнями. В тюркских языках есть основа «кул» (раб, слуга) и уменьшительный аффикс -бяк/-бек. Тогда Кулибяк — это сложное имя со значением «слуга бека» или «раб божий» (в мусульманском контексте). Однако для русской фамилии это слишком сложное построение, и такая версия остаётся лишь предположением.

Географически фамилия Кулибякин — редкая. В дореволюционных источниках она встречается в основном в центральных губерниях России, особенно в Рязанской и Тамбовской. Это область, где активно бытовали прозвища на -яка (-яка): Вертяка, Гуляка, Кулибяка. Такие прозвища часто давали за манеру поведения или внешность. Кулибякин, скорее всего, потомок человека, которого в деревне прозвали Кулибякой — за медлительность, неуклюжесть или, наоборот, за любовь к сытной еде (если допустить связь с кулебякой).

С точки зрения словообразования фамилия интересна тем, что сохранила редкий суффикс прозвища -як-(-як-), который в русских фамилиях встречается нечасто и почти всегда указывает на простонародное, диалектное происхождение. Дворянских родов с такой фамилией нет — это стопроцентно крестьянская или мещанская фамилия, что подтверждается и её отсутствием в «Общем гербовнике».

Итог: фамилия Кулибякин образована от прозвища Кулибяка, которое, вероятнее всего, имело ироничный или описательный характер, связанный либо с внешностью, либо с повадками человека. Точное значение прозвища утрачено, но его корень лежит в народной речи центральной России.