Фамилия Курганския — редкий случай, когда написание хранит прямую подсказку о происхождении. Окончание -ия выдает в ней старую форму родительного падежа прилагательного женского рода. В дореволюционной орфографии так записывали женские фамилии от мужских на -ский: муж был Курганский, а его жена или дочь — Курганская, но в документах иногда писали «Курганския» (чьей? — дочери Курганского). Со временем форма застыла и стала самостоятельной фамилией для женщин, а затем и для всех членов семьи, если запись делали с чужой речью или по ошибке писаря.

Основа фамилии — топоним Курган. Это тюркское слово, означающее «насыпь, холм, древняя могила». Названий с корнем «курган» в России десятки: от крупного города до мелких хуторов. Предок, взявший фамилию Курганский, скорее всего, был выходцем из такого места — либо из самого Кургана, либо из села Курганово, Курганка и т.п. Типичная модель для русского дворянства и духовенства: «служил под Курганом — стал Курганским». Но в отличие от массовых -ов/-ев, фамилия на -ский часто указывала на владельческий статус или административную принадлежность, а не просто на место жительства.

Форма Курганския почти не встречается в мужском варианте — это исключительно женский след в документах. Если ваш предок по мужской линии носил такую фамилию, значит, в какой-то момент её записали по матери или жене, что бывает в крестьянской среде конца XIX века, когда паспорта выдавали со слов, а не по метрикам. Географически фамилия тяготеет к Уралу и Зауралью, но встречается и в центральных губерниях — там, где были переселенцы из-под Кургана.

Сравните с однокоренными Курганов, Курганников, Курганцев. Первая — самая частая, от прозвища «Курган» (высокий человек или живший у насыпи). Вторая — профессиональная, от строителя курганов. А Курганския стоит особняком: её редкость объясняется не уникальностью корня, а случайно закреплённой грамматической формой. Это не прозвище и не ремесло — это географическая метка, записанная в женском роде и пережившая реформу орфографии 1918 года, когда окончание -ия упразднили.