Фамилия Курюатова — редкий случай, когда написание расходится с произношением, и это сразу даёт ключ к её происхождению. Если произнести фамилию вслух, слышится Курю́това или Курю́хтова, а буква «а» после «ю» — книжная, привнесённая при записи. Скорее всего, в основе лежит прозвище Курю́т (или Курю́та) — от глагола «курить» в одном из старых значений: либо «дымить, испускать дым», либо «пьянствовать, буйствовать» (сравните «курить» в смысле «кутить, бедокурить»). Суффикс -ат(а) в русских прозвищах нередко давал экспрессивную, чуть грубоватую форму: Курюта — человек, который много курит или, по второй версии, беспокойный, шумный.

Морфологически фамилия стоит в женском роде (Курюатова), мужской вариант — Курюатов. Модель образования стандартная: прозвище на -а (Курюта) плюс притяжательный суффикс -ов, то есть «сын Курюты». Редкая буква «а» после «ю» в корне (Курюатов вместо ожидаемого Курютов) — скорее всего, результат канцелярской описки или особенности местного говора: где-то «ю» переходило в «юа» под влиянием аканья или просто при переписи фамилию записали на слух с «лишней» гласной.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью — там, где прозвищные формы на -ата, -ута были особенно распространены. Встречается она крайне редко, что говорит о локальном происхождении: возможно, от одного прозвища в конкретной деревне или слободе. В дореволюционных метриках и ревизских сказках фамилия почти не фиксируется — это косвенно указывает на позднее оформление, уже после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам. Связи с тюркскими или финно-угорскими корнями нет — основа чисто славянская, глагольная.

Известных носителей с такой фамилией нет, что типично для редких крестьянских фамилий. Если ваш предок — Курюатов, то с высокой вероятностью он происходил из среды однодворцев или государственных крестьян южных губерний, а прозвище получил за привычку курить-дымить либо за беспокойный нрав.