Фамилия Кутковой — редкий пример, где географическое ударение меняет всё. Если вы произносите её с ударением на последний слог (Кутково́й), перед нами типичная русская фамилия-прилагательное в форме родительного или творительного падежа, застывшая в мужском роде. Такая модель характерна для южнорусских и украинских говоров: «Кутковой» буквально означает «сын Кутка» или «человек из семьи Кутка». Если же ударение падает на первый слог (Ку́тковой), фамилия может быть вариантом написания более распространённой Кутко́в, где суффикс -ов присоединён к основе, а конечное -ой — лишь графическая особенность старых документов.

Корень «кут» в славянских языках многозначен. В русских диалектах «кут» — это угол в избе, закуток или отдельное помещение для скота. В украинском и белорусском «кут» означает угол вообще, а также глухой переулок или тупик. Прозвище Куток могли дать человеку, который жил в отдалённом месте, на краю деревни, в «куту». В некоторых говорах так называли упрямого или скрытного человека — того, кто «забился в угол». Менее вероятная, но возможная версия: отчество от нецерковного имени Кут — так могли назвать ребёнка, родившегося в углу избы (по народному обычаю, роды часто принимали в углу, у печи).

Суффикс -ов- в основе Кутков указывает на принадлежность: Кутков — сын Кутка. Форма Кутковой с флексией -ой закрепилась в письменных источниках XIX — начала XX века, когда фамилии в документах часто записывали в форме прилагательного мужского рода (как Толстой, Благой). В современных паспортах фамилия чаще фиксируется как Кутков, а Кутковой может быть её вариантом, особенно в семьях, переселившихся из южных регионов России или с Украины.

Ономастических исследований, специально посвящённых этой фамилии, нет. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель с окончанием -ой подробно разбирается на примере фамилий Благой, Толстой, но Кутковой среди них не упоминается — что лишний раз подтверждает её локальный и сравнительно поздний характер. В ревизских сказках и метрических книгах XIX века такая фамилия встречается в Курской, Воронежской и Харьковской губерниях — областях, где диалектное слово «кут» было в ходу, а форма на -ой не редкость.

Если ваша фамилия именно Кутковой, а не Кутков, скорее всего, предки происходят из южнорусских чернозёмных губерний или слобожанщины. Занимались они, вероятно, земледелием или скотоводством — прозвище Куток могло указывать на крестьянский двор с «кутом» (хлевом) или на дом, стоящий в углу улицы.