Фамилия Кутрова — женская форма, а её мужской вариант, Кутров, образован по стандартной для русских фамилий модели: от основы (прозвища или имени) с помощью патронимического суффикса -ов. Это значит, что предок носителя фамилии был сыном человека по прозвищу Кутр или Кутрый.

Самая вероятная версия происхождения основы — от слова «кутрый» в южнорусских и украинских говорах. Там «кутрый» означало «хитрый», «лукавый», «изворотливый». Прозвище Кутрый давали человеку с острым умом, который умел выпутываться из сложных ситуаций, или же тому, кого считали плутоватым. В этом случае фамилия — типичное прозвище по черте характера, каких много в русском ономастиконе (Хитров, Лукавцев и т.д.).

Менее распространённая версия связывает фамилию с диалектным словом «кутра» — так в некоторых областях называли плохую, низкосортную пеньку или кудель. Прозвище Кутра могли дать человеку, который обрабатывал или торговал таким товаром, но это объяснение выглядит менее убедительным: прозвища по качеству материала встречаются реже, чем по характеру.

Интересная деталь: фамилия Кутров (и Кутрова) имеет отчётливую южную привязку. Она встречается в документах XVII–XVIII веков на территории современной Украины и юга России, в частности среди казачества. Это отличает её от фамилий на -ов, образованных от северных прозвищ, и указывает на возможную связь предков с Черниговщиной, Полтавщиной или Слобожанщиной. Сравнение с однокоренными фамилиями — Кутренко, Кутря — только подтверждает этот ареал.

Таким образом, если ваша фамилия Кутрова, ваш предок с большой вероятностью был человеком с юга, которого в округе знали как сметливого или хитрого — Кутрого. Фамилия не принадлежала к дворянским, а бытовала в крестьянской и казачьей среде, что делает её типичным примером народного прозвища, застывшего в официальной родовой форме.