Фамилия Куцанова — женская форма, а её мужской вариант — Куцанов. В основе фамилии лежит прозвище Куцан. Чаще всего так на юге России и в украинских говорах называли человека невысокого роста, коренастого, плотного. Слово «куций» означало «короткий», «обрубленный», поэтому прозвище могло относиться и к одежде: Куцаном могли прозвать того, кто носил слишком короткую или плохо сшитую одежду. Отсюда же — версия о профессии предка: основатель рода Куцановых мог быть портным, причем не самым умелым, либо, напротив, получить прозвище за привычку шить вещи «на вырост», делая их короткими.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий: Куцан → Куцанов → Куцанова. Такую фамилию получали потомки человека по прозвищу Куцан, чаще всего в крестьянской или мещанской среде. Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским областям, где слово «куций» было в ходу.

Существует и другая версия, менее убедительная. Согласно ей, фамилия связана с именем Куцай — формой тюрко-монгольского имени Кусай. В её основе лежит монгольское «куса» (или «хуса») — «баран» и именной суффикс -ай. Такое имя давали мальчикам с пожеланием стать отцом большого семейства, подобно барану, вожку отары. Однако эта гипотеза плохо объясняет русский суффикс -ов, который в тюркских фамилиях встречается реже, а главное — не учитывает живого значения слова «куцан» в русских говорах. Поэтому версия о прозвище по внешности или роду занятий выглядит намного правдоподобнее.