Фамилия Куцаев образована от имени или прозвища Куцай, и здесь есть несколько версий, разной степени достоверности. Самая обоснованная связывает фамилию с монгольским или тюркским именем Кусай. В его основе лежит слово «куса» (или «хуса») — «баран». К нему присоединили именной суффикс -ай, характерный для тюркской антропонимии. Такое имя давали мальчикам с пожеланием: чтобы в будущем они стали отцами большого семейства, подобно тому как баран-вожак держит под присмотром отару овец. Это пожелание плодовитости и силы рода — частый мотив в традиционных именах.

Есть и другая версия, менее убедительная. Согласно ей, Куцай — тюркское прозвище, восходящее к слову «kuzey» (северный). Так могли прозвать выходца из северных земель. Однако эта гипотеза уступает первой по популярности и лингвистической естественности, так как имя со значением «баран» встречается в источниках гораздо чаще.

Иногда фамилию Куцаев пытаются сблизить с русским прозвищем Куцый — так называли человека маленького роста или коренастого. Но здесь мы видим прямое заимствование из тюркского корня, а не славянскую основу, поэтому версия с «куцым» выглядит натянутой. При образовании фамилии к основе Куцай добавили стандартный русский патронимический суффикс -ев, так что фамилия буквально значит «сын Куцая».