Лабатская — фамилия, которая сразу указывает на географию своего происхождения. Суффикс -ск- и окончание -ая выдают в ней типичную польскую или западнорусскую фамилию, образованную от названия места. В старину такие фамилии носили дворяне, владевшие землёй или имением, а позже — выходцы из определённого села или города. Так что предки Лабатских, скорее всего, происходили из поселения с корнем «Лабат-».

Сама основа «Лабат» неоднозначна. Первая и самая вероятная версия — топонимическая: в Польше и на западе Беларуси есть несколько деревень с похожими названиями (Лабаты, Лабатово). Название могло восходить к слову «łabędź» — лебедь, но в народной речи звук мог редуцироваться. Вторая версия — от личного прозвища или имени Лабат, которое в говорах могло означать «неуклюжий», «медлительный» человек (сравните с диалектным «лабать» — делать небрежно, кое-как). В этом случае фамилия образована по той же модели, что и Загорский или Островский: сначала прозвище человека, потом фамилия его потомков.

Обратите внимание на суффикс -ск-, а не -ов или -ин. Это говорит о том, что фамилия сформировалась в среде шляхты или духовенства — именно эти сословия в XVI–XVII веках активно брали фамилии по названиям имений. Если бы предок был крестьянином, ему бы дали отчество (Лабатов) или прозвище (Лабат). Лабатская — фамилия «географическая», и её носители, вероятно, были либо мелкими землевладельцами, либо людьми, переселившимися в город и взявшими фамилию по родной деревне.

Встречается фамилия в основном в западных регионах России, Беларуси и на востоке Польши. В центральной России она редка и часто является следствием переселения после разделов Речи Посполитой. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Лаба́тская, что тоже типично для польского произношения.