Фамилия Лагойская — это женская форма фамилии Лагойский, которая образована по той же модели, что и множество русских фамилий на -ский/-цкий. Такие фамилии в большинстве своём указывают на связь человека с географическим объектом: селом, городом или местностью. Основа здесь — топоним Логойск (историческое название города в современной Беларуси, Минская область). Логойск известен с XI века, и фамилия Лагойский могла закрепиться за выходцем из этих мест.

Если разбирать словообразовательную цепочку, то корень «Лагой-» (с белорусским чередованием «о»/«а», характерным для акающих говоров) восходит к названию реки Логоза или древнему балтскому гидрониму. В польской и западнорусской традиции фамилии на -ский часто получали дворяне, владевшие поместьем, или люди, переселившиеся из конкретного населённого пункта. Поэтому первый носитель фамилии Лагойский, скорее всего, был либо шляхтичем из-под Логойска, либо крестьянином, которого записали по месту прежнего жительства.

В русском языке фамилия Лагойская встречается редко, и это сразу отличает её от массовых фамилий на -ов и -ин. Она сохраняет память о конкретном регионе — исторической Минщине. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с высокой вероятностью предположить их белорусские или западнорусские корни, возможно, связанные с мелкопоместной шляхтой или мещанами. Мужская форма Лагойский могла писаться через «а» или «о» в зависимости от эпохи и грамотности писаря, но в основе всегда лежит одно и то же название — Логойск.