Фамилия Лагойский — редкий пример фамилии на -ский, которая, скорее всего, образована не от названия польского шляхетского имения, а от прозвища. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать основу «Лагой-». В русских говорах слово «лагой» или «лагода» могло означать «лад», «порядок», «мир» или «дружба». Отсюда прозвище Лагой — человек покладистый, мирный, умеющий наладить отношения. Встречается и вариант «лага» — в некоторых диалектах так называли ленивого или медлительного человека, что даёт вторую версию: фамилию могли дать неспешному, флегматичному предку.

Суффикс -ский в этой фамилии не указывает на дворянское происхождение, как часто думают. В XIX веке такие фамилии массово присваивались в духовных училищах и семинариях: выходцам из крестьянской или мещанской среды, поступавшим в духовное сословие, нередко меняли фамилии на более «благозвучные» с этим окончанием. Лагойский мог быть семинарской фамилией, образованной от бытового прозвища Лагой — чтобы звучало солиднее, чем просто Лагой или Лагойкин.

География фамилии сосредоточена на западе России и в Беларуси. Там основа «лагой-» встречается в топонимах: есть деревня Логойск (Лагойск) в Минской области, и название этой местности тоже восходит к тому же корню «лаг-» (в значении «лощина», «низина»). Поэтому не исключён и третий, менее вероятный, вариант: фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта, но тогда ожидалось бы ударение на второй слог — Лагойский, а не Лагойский, и форма была бы скорее Лагойский, как Логойский. В пользу прозвищного происхождения говорит и то, что фамилия не встречается в старых дворянских родословных книгах.

Сравните с однокоренными фамилиями: Лагода, Лагодин, Лагодский. Лагойский стоит особняком — более редкая, с характерным «ой» в основе, что выдаёт её диалектное или местное происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятнее всего, был выходцем из крестьянской или духовной среды западных губерний Российской империи, а сама фамилия закрепилась за ним как «благородный» вариант простого прозвища Лагой.