Фамилия Лаыкина — редкий случай, где написание говорит едва ли не больше, чем происхождение. Сразу бросается в глаза сочетание «аы»: для русского языка оно нетипично. Скорее всего, перед нами не исконная форма, а результат поздней орфографической или диалектной замены. Наиболее вероятная исходная фамилия — Ла́йкина (от прозвища Лайка, которое давали крикливому, горластому человеку или, в ироничном ключе, собаке), либо Ла́вкина (от «лавка» — торговое место или скамья). Буква «ы» могла появиться из-за местного произношения: в некоторых говорах, особенно на Русском Севере и в Поволжье, звук [й] ослабевал, а гласный «а» перед твёрдым согласным переходил в «ы». Так Лайкина на письме превратилась в Лаыкина.

Разберём основу. Если всё же отталкиваться от написания как от единственного достоверного факта, то корень «лаык-» — тёмный. В русском языке такого слова нет. Это косвенно подтверждает версию об искажении: фамилию записывали на слух, а писарь, не найдя привычной буквы «й», заменил её на «ы». Встречаются и обратные случаи, когда фамилию «исправляли» по правилам, но здесь, видимо, ошибка закрепилась.

Географически фамилия Лаыкина привязана к регионам, где в документах XIX — начала XX века фиксировались подобные написания: Вологодская, Архангельская, Кировская области. В этих местах диалектное «ыканье» — распространённое явление. Носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами: фамилии на -ин в этой среде типичны, а людей с необычным произношением часто «записывали как слышали».

Таким образом, Лаыкина — не столько загадка корня, сколько живой след работы писаря, который столкнулся с местным говором. Фамилия-фантом, за которой почти наверняка стоит обычная Лайкина.