Фамилия Леонте образована от крестильного имени Леонтий, которое пришло на Русь из Византии вместе с православием. В переводе с греческого «леонтиос» означает «львиный» — от слова «леон» (лев). Это имя давали в честь святого Леонтия Никейского, который прославился необычайной стойкостью: во времена гонений за веру он не отрекся от Христа, за что был изгнан из родной деревни, ушел в лес и до конца дней прожил отшельником. В старину верили, что имя святого или великомученика передает ребенку часть его силы и праведности, поэтому Леонтием называли нередко.

В фамилии Леонте обращает на себя внимание окончание. В русской традиции фамилии на -ов/-ев, -ин или -ский встречаются чаще всего, а форма Леонте — явно нерусская по модели. Скорее всего, это украинский или белорусский вариант: в этих языках фамилии нередко застывают в форме именительного падежа без суффикса принадлежности. Сравните с украинскими фамилиями Яковле, Грице, Демьяне. Встречается Леонте и у молдаван, где окончание -е типично для фамилий, образованных от имени (например, Георге, Ионе). То есть носитель фамилии Леонте, вероятно, происходит из западнорусских земель или из Бессарабии.

Основа у фамилии одна — имя Леонтий, но в бытовом произношении оно сократилось до Леонт (как Дмитрий — Дмитро, Константин — Кость). От этой краткой формы и пошла фамилия Леонте. Редкий суффикс делает её заметной на фоне более привычных Леонтьев, Леонтович или Леонтенко. Если ваши предки носили фамилию Леонте, они могли быть выходцами из сельской местности Украины, Беларуси или Молдовы, где фамилии часто закреплялись в такой форме.