Фамилия Левиыкий — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. В ней сразу бросается в глаза опечатка или диалектная особенность: окончание «-ыкий» вместо привычного «-ский». В русской ономастике суффикс «-ск-» — один из самых распространённых, он образует фамилии по географическому или прозвищному принципу. Но «-ыкий» — это либо результат ошибки при записи (в дореволюционных метриках могли написать на слух), либо украинское влияние, где твёрдое «ы» звучит отчётливее. В любом случае, основа фамилии — корень «Лев-», и это сразу указывает на имя Лев.

Если отбросить сомнительное окончание, перед нами типичная фамилия на «-ский», образованная от имени Лев. Такие фамилии часто давали в духовном сословии: семинаристы получали «красивые» фамилии по именам святых или библейских персонажей. Лев — апостол и евангелист, папа римский, а также один из символов евангелиста Марка. Поэтому Левицкий (а Левиыкий — его уродливый дубль) — это фамилия, означающая «принадлежащий Льву» или «происходящий от Льва». В семинарской среде так могли назвать ученика, который особенно чтил этого святого, или же просто давали фамилию по имени отца — попа Льва.

Другая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть от прозвища Лев (храбрый, сильный человек) с добавлением суффикса «-ицк-», который со временем перешёл в «-ицк-» > «-ицкий». Но в форме «Левиыкий» мы видим явный сбой: вместо «Левицкий» написано «Левиыкий». Это могло произойти при переписи населения в XIX веке, когда малограмотный писарь записал фамилию на слух, а потом она закрепилась в документах. Географически такие искажения чаще встречаются в южнорусских и украинских губерниях, где «ы» и «и» путали.

По сути, носитель фамилии Левиыкий — это человек, чьи предки, скорее всего, были либо священниками (семинаристами), либо крестьянами, получившими фамилию от имени отца или прозвища. Уникальность этой фамилии в том, что она — живое свидетельство ошибки или диалекта, сохранившееся в документах. Если ваш предок писался именно так, это может быть ключом к поиску: в архивах стоит искать варианты «Левицкий», «Левитский» или даже «Левский», так как единого стандарта до XX века не было.