Фамилия Левцун звучит необычно для русского уха, и это не случайно: её выдает характерный суффикс -ун. В русских фамилиях этот суффикс редок и почти всегда указывает на прозвище, образованное от глагола: «крикун», «болтун», «ворчун». Так и здесь — скорее всего, Левцун произошло от прозвища Левцун, которое дали человеку, имеющему отношение к слову «левый».

Версий тут две, и обе рабочие. Первая: прозвище могли дать левше — человеку, который всё делал левой рукой. В старину к леворукости относились настороженно, и такое прозвище легко прилипало к человеку, а потом переходило в фамилию. Вторая версия: «левый» в значении «чужой», «не тот», «неправильный» — так могли прозвать человека, который держался особняком, был не похож на других или делал всё не так, как принято. Оба значения укладываются в модель: основа «лев-» плюс суффикс -ц- и уменьшительный -ун, что даёт буквально «левый человек».

Фамилия Левцун — украинская или южнорусская. Суффикс -ун характерен именно для украинской ономастики, где он образует и прозвища, и фамилии без дополнительных окончаний (как, например, фамилии Грицун, Харчун). В России такие фамилии чаще встречаются на границе с Украиной — в Курской, Белгородской, Воронежской областях. Встречается и вариант Левцунь — с мягким знаком на конце, что тоже указывает на южное происхождение.

Сравните с однокоренными фамилиями: Левченко — типично украинская фамилия от имени Левко (уменьшительное от Лев), а Левцун — от прозвища, а не от имени. Это редкий случай, когда основа не связана с церковным именем Лев (от греческого «лев»), а с бытовым словом. Так что носитель фамилии Левцун с высокой вероятностью происходит от предка-левши или человека с нестандартным, «левым» поведением, которого так и прозвали в своей общине.