Фамилия Лисая — это вариант фамилии Лисой, и её происхождение напрямую связано с тем, как в старых говорах звучало слово «лысый». В некоторых диалектах русского языка, особенно в южных и западных регионах, вместо «лысый» говорили «лисый». Человека без волос на голове могли прозвать Лисым, а его потомки получали фамилию Лисая или Лисой. Это одна из самых вероятных версий, и она объясняет написание через «и», а не через «ы».

Есть и другая версия, которая связывает фамилию с древнерусским нецерковным именем Лис. На Руси до принятия христианства и ещё долго после него были распространены «мирские» имена, взятые из мира животных. Имя Лис могли дать за хитрость, рыжий цвет волос или как оберег. В этом случае фамилия Лисая — это притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чья?» и означающее «принадлежащая Лису», то есть жена или дочь человека по имени Лис.

Форма Лисая — это женский вариант фамилии, который в русской традиции не склоняется. Мужской вариант — Лисой. Такая модель образования (с окончанием -ой/-ая) типична для южнорусских фамилий, в отличие от северных на -ов/-ев. Встречается она нечасто, что делает фамилию Лисая локально привязанной к определённым говорам и регионам.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Лисая, они могли происходить из мест, где «ы» переходило в «и», либо же их родоначальник носил прозвище или имя Лис. Обе версии имеют под собой реальную языковую основу, но первая (от «лысый») считается более массовой и объясняет необычное для литературного языка написание.