Фамилия Литягов — редкий случай, когда за основу взято не имя, не профессия и не внешность, а, скорее всего, местное прозвище, связанное с действием или состоянием. Разберём её по косточкам.

Корень здесь — «литяг-», который явно восходит к глаголу «литять» или «литягать». В русских говорах, особенно северных и сибирских, это слово означало «лениться», «мешкать», «делать что-то нехотя, через силу». Человек, которого прозвали Литягой, был, вероятно, медлительным, вялым или просто нерасторопным работником. Суффикс «-ов» стандартно указывает на принадлежность: «чей?» — Литягов, то есть сын или потомок Литяги.

Модель образования типична для русских фамилий: прозвище на -а (Литяга) + суффикс -ов. Похожие по смыслу фамилии — Лентягов, Мешков (от «мешкать»), Копылов (от «копылить» — делать медленно). Но есть и другая версия, менее вероятная, но любопытная: в некоторых говорах «литяга» могло означать «тот, кто льёт» (например, металл или воду). Тогда фамилия могла принадлежать литейщику или водовозу. Однако первое объяснение — про лень и медлительность — поддерживается большей частью ономастических данных.

Географически фамилия Литягов встречается редко, преимущественно в центральной России и Поволжье. В дореволюционных переписях её фиксировали в основном среди крестьян и мещан. Сословной элиты среди Литяговых не было — это «низовая» фамилия, что только добавляет ей исторической достоверности: прозвища, данные за характер, чаще всего закреплялись именно в простонародье.

Интересная деталь: фамилия могла писаться через «е» — Летягов, и это не ошибка. В старых документах встречаются оба варианта, так как безударное «и» и «е» в говорах путали. Если ваши предки записаны как Летяговы, это, скорее всего, та же самая фамилия, просто в иной орфографической традиции.