Фамилия Ливанжи — редкая и нестандартная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а западноевропейское, скорее всего, итальянское или французское. В русской традиции фамилии на -жи (-gi) практически не встречаются: это чужеродный суффикс, который указывает на иноязычную основу.

Скорее всего, Ливанжи — это русифицированная форма итальянской фамилии Livangi или французской Livangé. Корень «ливан» в европейских языках чаще всего отсылает к географическому названию Ливан (гора или страна). В таком случае фамилия могла быть прозвищем человека, который побывал в Ливане, торговал с ним или имел внешность, напоминающую жителей Восточного Средиземноморья. В Италии, например, фамилии, образованные от названий стран и регионов (Livorno, Romano, Greco), очень распространены, и Ливанжи могла возникнуть по той же модели.

Менее вероятная, но возможная версия — от французского глагола livrer (доставлять, поставлять). В таком случае Livangé могло быть профессиональным прозвищем поставщика или курьера. Однако фонетически форма «Ливанжи» ближе именно к топониму, чем к глаголу.

В России эта фамилия встречается крайне редко. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были выходцами из Западной Европы (возможно, из итальянских или французских колоний на юге России или из числа специалистов, приглашённых в XVIII–XIX веках). Окончание -жи не изменилось при адаптации — это редкий случай, когда фамилию не «обрусели» суффиксами -ов или -ин, а оставили в почти оригинальном виде. По сути, Ливанжи — это «живой» осколок европейской ономастики в русском языке.