Фамилия Ливатов, скорее всего, образована от прозвища или мирского имени Ливатый. В основе лежит слово «ливый», которое в старых русских говорах означало «левый». Прозвище Левша или Левый давали человеку, который всё делал левой рукой, или, в переносном смысле, тому, кто шёл «не по правде», был криводушным или неловким. Суффикс «-ат-» в основе (Ливат-ый) — характерная черта русских прозвищ, описывающих внешность или характер по яркому признаку (ср. Горбатый, Бородатый, Косолапый). Таким образом, Ливатов — это потомок человека по прозвищу Ливатый.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с топонимом. В России есть несколько небольших рек с названием Лива, например, в бассейне Камы. Житель с берегов такой реки мог получить прозвище Ливатый, то есть «живущий на Ливе». Однако эта версия слабее: гидронимы редко образуют прозвища с суффиксом «-ат-», чаще появляются фамилии на -ский (Ливинский, Ливский).

Фамилия Ливатов — довольно редкая. Её не встретишь в списках массовых дворянских или купеческих родов. По данным современных справочников, наибольшая концентрация носителей фиксируется в Поволжье, в частности в Самарской и Ульяновской областях, а также в некоторых районах Сибири, куда переселенцы из центральной России уходили в XIX веке. Если ваши предки — Ливатовы, скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а фамилия закрепилась за ними в середине XIX века, после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам.

Обратите внимание на ударение. В фамилии Ливатов оно обычно падает на первый слог: Л́иватов. Это косвенно подтверждает версию о происхождении от «ливый» (Л́иватый). Если бы ударение было на второй слог (Лив́атов), корень мог бы читаться как «-лив-» (от слова «лить»), но такая форма почти не встречается в документах.