Фамилия Лодягин образована от прозвища Лодяга. В русских говорах это слово имело два основных значения. Первое — «лодырь», «бездельник», «шатун». Второе, более конкретное — «лодочник», «тот, кто работает на лодке или перевозит на ней грузы». Какое из значений легло в основу фамилии, сказать сложно: оба были распространены, особенно в северных и волжских регионах, где речное судоходство было обычным делом. Впрочем, в словаре В. И. Даля «лодягой» называют также «вялый, неповоротливый человек» — оттенок, близкий к «лодырю».

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Лодягин буквально значит «сын Лодяги» или «человек из семьи Лодяги». Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ или личных имён на -а/-я. Интересно, что в некоторых говорах «лодяга» могло быть и уменьшительной формой редкого крестильного имени Лод (от греческого «Лодон» — «роза»), но эта версия менее вероятна: прозвищная основа здесь первична.

Географически фамилия Лодягин тяготеет к северо-востоку России: чаще всего она встречается в Вологодской, Архангельской, Кировской областях, а также в Пермском крае и на Урале. Это совпадает с ареалом бытования слова «лодяга» в значении «лодочник» — в речных регионах, где лодка была основным средством передвижения. Однако нельзя исключать и вариант с «лодырем»: такие прозвища давали нерадивым работникам, и фамилия могла возникнуть в любом регионе.

Сравните с однокоренными фамилиями: Лодкин, Лодыгин, Лодочников. Первые две — от тех же корней, что и Лодягин, только с разными суффиксами. Лодочников — более поздняя, «профессиональная» фамилия, образованная от прямого названия ремесла. Лодягин же стоит в ряду старых прозвищных фамилий, где связь с занятием или характером предка могла быть неочевидной уже через поколение.

Таким образом, Лодягин — фамилия, скорее всего, северного или волжского происхождения, с основой в прозвище, которое могло относиться либо к речному перевозчику, либо к человеку, которого считали ленивым. Без точных генеалогических данных определить, какая из версий верна для конкретного рода, невозможно — но обе по-своему рисуют портрет предка.