Фамилия Луцкив (как и близкая к ней Луцив) восходит к мужскому имени Луцка — скорее всего, производной форме от крестильного имени Лука или Лукьян. В украинской и западнорусской традиции имена часто укорачивали и добавляли суффикс -к-: так появлялись Луць, Луцко, а от них — фамилии на -ив, -ов, -енко.

Ключевая особенность фамилии Луцкив — её окончание. Суффикс -ив (в русской передаче -иф, но на письме сохраняется -ив) характерен для западноукраинских фамилий, особенно для Галичины, Волыни и Подолья. В украинском языке он выполняет ту же роль, что русское -ов: указывает на принадлежность, отвечая на вопрос «чей?». То есть Луцкив буквально означает «Луцков сын» или «принадлежащий Луцку». Такая модель словообразования — одна из самых распространённых на западе Украины, но редкая для восточнославянских фамилий в целом, что сразу выдаёт региональные корни рода.

Основа фамилии — имя Луцка — могла относиться как к Луке (евангелист, покровитель врачей и художников), так и к Лукьяну (от латинского «светлый»). Выбор между ними зависит от местной традиции: в некоторых сёлах Луцкой называли человека, родившегося в день памяти одного из этих святых. Впрочем, не исключено и прозвищное происхождение: в говорах «луцкать» иногда значило «шататься», «болтаться», но это менее вероятно — фамилия скорее всего патронимическая.

Географически фамилия Луцкив чаще всего встречается в Ивано-Франковской, Львовской и Тернопольской областях. Если ваши предки носили её, они, скорее всего, были крестьянами или мещанами из западноукраинских сёл — фамилии на -ив редко встречались у дворянства, которое предпочитало формы на -ский.

Сравните с однокоренными: Луцков (русская версия, с суффиксом -ов), Луценко (украинская, с типичным для востока и центра суффиксом -енко), Луцкий (польская или шляхетская форма). Луцкив стоит особняком — это маркер именно галицкого происхождения, и если вы встретили её за пределами Украины, то с большой вероятностью носитель — потомок выходцев из тех краёв.