Фамилия Львинский — один из тех случаев, когда на слух кажется, что корень очевиден (лев, царь зверей), а на деле всё сложнее и интереснее. Если отталкиваться от прямого значения, то «Львинский» — это фамилия, образованная от прозвища или имени, связанного со словом «лев». Но в русской ономастике такая модель — с суффиксом -инск- — почти всегда указывает на географическое происхождение, а не на личное качество.

Словообразовательная модель здесь классическая для польско-украинско-белорусского пограничья: основа (название места) + суффикс -ский/-цкий. Фамилии на -инский нередко возникали от названий населённых пунктов с окончанием -ин, -ино. То есть Львинский — это, скорее всего, «тот, кто родом из Львина» или «из Львинок». Такие топонимы действительно существуют: село Львин в Брянской области, деревня Львинка в Смоленской, а также хутора с похожими названиями на территории современной Украины. В таком случае предок носителя фамилии был выходцем из этого села или владел там землёй.

Версия с прямым прозвищем «Лев» (человек сильный, смелый или с пышной гривой волос) тоже возможна, но тогда фамилия скорее приняла бы форму Львов или Львин (без суффикса -ский). Суффикс -ский в русской среде чаще закреплялся за дворянскими и шляхетскими родами, а в крестьянской среде — за переселенцами, которых записывали по месту выхода. Поэтому Львинский — это типичная «географическая» фамилия, которая могла принадлежать как мелкопоместному дворянину, так и бывшему крепостному, переехавшему в другой уезд.

Интересно, что в польской традиции фамилия Lwiński встречается чаще, чем в великорусской, и там она тоже привязана к местам вроде Lwów (Львов) или Lwinek. В русском произношении звук [в] сохранился, а вот ударение может плавать: в разных ветвях рода оно падает то на первый, то на второй слог.

Коротко: если вы Львинский, ваши предки, скорее всего, жили в деревне или селе с корнем «льв-», а не носили на плече львиную голову. Фамилия редкая, в современных справочниках не частотная, что только подтверждает её узкую локальную привязку.