Фамилия Ляпуновы происходит от прозвища Ляпун. В старину так называли человека, который делал всё кое-как, поспешно и плохо, или говорил что-то некстати — «ляпал». Корень здесь тот же, что и в глаголах «ляпнуть», «сляпать». Прозвище было нередким: в памятниках XV–XVI веков встречаются Иван Ляпа (крестьянин, 1494 г., Кострома), Грихно Ляпин (крестьянин, начало XVI в., Новгород), Ляпун Борисович Осинин (посол к римскому цесарю, 1527 г.) и даже Ляпун Янович Мусоргский (помещик, 1550 г.). Последний пример особенно показателен: прозвище Ляпун носил предок знаменитого композитора Мусоргского, то есть оно бытовало не только среди крестьян, но и в служилых родах.

Фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов, который добавлялся к основе прозвища, оканчивающейся на твёрдый согласный. Так Ляпун превратился в Ляпунов, то есть «сын Ляпуна» или «из рода Ляпуна». Форма множественного числа (Ляпуновы) указывает на целый род, а не на одного человека.

Среди носителей фамилии — два брата, оставивших заметный след в русской науке и искусстве. Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918) — математик и механик, академик Петербургской АН, создатель теории устойчивости движения. Сергей Михайлович Ляпунов (1859–1924) — композитор, пианист и дирижёр, известный своими симфоническими произведениями и обработками народных песен. Оба родились в Ярославле, что даёт некоторую географическую привязку роду.

О точном времени и месте возникновения фамилии говорить сложно: процесс её закрепления шёл несколько столетий, и разные ветви рода могли получить её независимо друг от друга. Ясно одно: в основе лежит живое, образное прозвище, которое когда-то дали предку за его манеру речи или работы.