Фамилия Ляпунова — женская форма фамилии Ляпунов, которую образовали от прозвища Ляпун. В старину так дразнили человека, который всё делал кое-как, наспех и плохо, либо говорил невпопад, «ляпал» лишнее. Это прозвище не было редкостью: в письменных памятниках XV–XVI веков встречаем Ивана Ляпу (крестьянин, 1494 г., Кострома), Грихна Ляпина (начало XVI в., Новгород), Ляпуна Борисовича Осинина (посол к римскому цесарю, 1527 г.) и даже Ляпуна Яновича Мусоргского (помещик, 1550 г.) — предка знаменитого композитора. Судя по записям, прозвище бытовало в разных слоях: от крестьян и стрельцов до послов и помещиков, так что фамилия не привязана к одному сословию.

В основе фамилии лежит глагол «ляпать» — делать грубо, небрежно, а также говорить необдуманно. Суффикс -ун в прозвище Ляпун типичен для характеристики человека по действию (ср. Болтун, Ворчун). Фамилия Ляпунова, как и многие русские фамилии на -ов, означает «дочь (или жена) Ляпуна» и закрепилась в северных и центральных областях России, где прозвище было особенно распространено.

Среди известных носителей фамилии — братья Ляпуновы: Александр Михайлович (1857–1918), русский математик и механик, академик Петербургской АН, и Сергей Михайлович (1859–1924), композитор, пианист и дирижёр. Их происхождение из дворянской среды показывает, что прозвище Ляпун со временем потеряло первоначальный оттенок и закрепилось как полноценная фамилия.