Фамилия Любимсая — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. Если вы встретили её в документах или семейных преданиях, первое, что приходит на ум: перед нами опечатка или диалектное произношение фамилии Любимская. В русском языке суффикс -ск- типичен для фамилий, образованных от географических названий (сел, городов), а окончание -ая указывает на женский род в форме прилагательного. Мужской вариант, соответственно, Любимский.

Однако если написание Любимсая не случайно, а отражает реальное бытование, стоит поискать корни в другом суффиксе. Формант -сая встречается крайне редко, но он возможен в фамилиях, образованных от прозвищ с основой на -с-. Например, от прозвища Любимец или Любимый с добавлением суффикса -с- и окончания -ая. Такая модель нетипична для центральной России, но могла сложиться на окраинах, где смешивались языковые нормы — например, в старых казачьих областях или на Русском Севере, где встречаются фамилии вроде Молодсая, Глухсая.

Основа у обеих версий одна — слово «любимый» или древнерусское нецерковное имя Любим. В старину Любимом называли долгожданного, желанного ребёнка. Это имя было популярно среди крестьян и посадских людей до XVII века, пока церковь не начала вытеснять дохристианские имена. От него пошли фамилии Любимов, Любимцев, Любимский. Ваш случай — либо редкая региональная ветвь, либо ошибка писаря, который на слух записал фамилию как слышал: «Любимсая» вместо «Любимская».

Проверить это можно по архивным записям: в метрических книгах XIX века фамилия Любимская встречается в Тверской, Ярославской и Вологодской губерниях, а Любимсая — единичные случаи, чаще всего в списках с ошибками. Если ваши предки родом из этих мест, скорее всего, они Любимские, и фамилия указывает на выходцев из села Любим или Любимово. Если же написание устойчиво и повторяется в нескольких поколениях, это может быть уникальный местный вариант, не попавший в справочники.