Фамилия Лютаевы (в женском роде — Лютаева) образована от личного прозвища Лютай. Это типичная русская фамилия, построенная по модели «прозвище + суффикс -ев». Суффикс -ев присоединялся к основам на мягкий согласный или -й, поэтому от Лютай мы получаем Лютаев, а не Лютаов.

Прозвище Лютай напрямую связано с прилагательным «лютый». В древнерусском языке это слово имело широкий спектр значений: «свирепый, неукротимый», «рьяный, быстрый», «суровый». Вопреки ожиданию, вряд ли так называли жестокого или злого человека. Скорее всего, прозвище отражало храбрость, бесстрашие или даже фанатичную приверженность каким-то взглядам. Лютым называли и воина, идущего в бой с яростью, и человека с несгибаемым нравом.

Есть и календарная версия. В народе месяц февраль называли «лютый» — за морозы и метели. Потому прозвище Лютай могли дать ребёнку, родившемуся в феврале. Такая практика именования по времени года или погоде при рождении была распространена на Руси.

Фамилия Лютаевы — не единственная в этом гнезде. Однокоренные фамилии — Лютов, Лютый, Люткин — различаются суффиксами, но восходят к той же основе. Лютаевы встречаются в разных регионах, но точное место возникновения фамилии установить сложно: процесс закрепления прозвищ в фамилии шёл несколько столетий. Тем не менее, фамилия Лютаевы — живой памятник древнерусской лексики, где слово «лютый» ещё не означало исключительно жестокость, а несло оттенок силы и мощи.