Фамилия Лютаева — одна из тех, где за основу взято прозвище, а не крестильное имя. Её образовали от прозвища Лютай, корень которого — древнерусское прилагательное «лютый». Слово это было многозначным: им описывали и свирепого, неукротимого зверя, и рьяного, быстрого в деле человека, и даже сильный мороз («лютый холод»). Вряд ли Лютаем называли жестокого человека — скорее храброго, бесстрашного, отчаянного в бою или яростного приверженца какой-то идеи. В народной речи «лютым» называли и февраль — самый суровый месяц зимы. Поэтому есть версия, что прозвище Лютай могли дать ребёнку, родившемуся в феврале, по той же модели, что имена Мороз, Зима или Студень.

Словообразовательная модель простая: к основе Лютай добавили типичный русский суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Лютаев). Фамилия закрепилась в форме женского рода Лютаева, хотя исторически прозвище носил мужчина. По сословному составу фамилия не была аристократической: Лютаевы встречались среди крестьян и мещан, особенно в северных и центральных губерниях России, где февральские морозы давали повод для таких прозвищ.

Интересная деталь: у фамилии есть однокоренные варианты — Лютов, Лютый, Люткин. Они образованы от того же корня, но разными суффиксами. Лютаева стоит в этом ряду особняком: суффикс -ай (-яй) в прозвищах встречается реже, чем -ов или -ин, и придаёт основе оттенок действия или свойства («тот, кто лютует»). В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» этот тип разбирается как характерный для прозвищ, описывающих поведение.

Таким образом, фамилия Лютаева напрямую отсылает к характеру или обстоятельствам рождения предка. Потомок человека по прозвищу Лютай со временем получил фамилию, которая закрепилась в документах и передавалась по наследству.