Фамилия Люта — редкий пример, где прозвище или имя почти наверняка имеют не славянское, а балтийское происхождение. Если коротко: предок мог получить её по месту жительства (у реки или в деревне Люта) либо, что менее вероятно, от имени со значением «львица».

Разберёмся по порядку. Основная версия — топонимическая. На северо-западе России и в Белоруссии есть несколько рек с названием Люта: левый приток Плюсы и правый приток Шелони в Псковской области, а также правый приток Лани (бассейн Днепра) в Белоруссии. Кроме того, существует деревня Люта в Брестской области. Человек, живший на берегу такой реки или в этой деревне, легко получал прозвище Люта — по названию места. Словообразование здесь простое: топоним перешёл в прозвище без дополнительных суффиксов, что характерно для древнейших пластов фамилий.

Корень названия — балтийский. Он восходит к основе *lud-/lut- со значением «мокрый, сырой». Лингвисты проводят параллели с литовским liūtis («ливень») и даже с финским liueta («растворяться»). Гидронимы с таким корнем типичны для балтийского ареала, который когда-то простирался далеко на восток, включая Псковщину. Так что реки Люта получили имя за болотистые, топкие берега, а не за «лютый» нрав.

Вторая версия — антропонимическая. Она связывает фамилию с литовским словом liūtė — «львица». В этом случае Люта — не прозвище по местности, а личное имя или ласкательное прозвище. Однако эта гипотеза слабее: «львиные» имена (Лев, Леон) в славянской среде обычно давались через церковные святцы, а литовское liūtė — слишком редкое заимствование для русских крестьян. К тому же в документах фамилия встречается именно в районах, где протекают реки Люта: Псковская, Новгородская, Кемеровская области (куда переселенцы принесли топоним с собой). Например, в Книге памяти Кемеровской области записан Люта Виктор Станиславович, 1915 года рождения, из деревни Поперечка Тяжинского района — типичный след сибирских переселенцев с запада.

Обратите внимание на суффикс. Фамилия Люта стоит в чистой, «неусечённой» форме — без типичных русских суффиксов -ов/-ев или -ин. Такая модель (прозвище или имя прямо в именительном падеже) характерна для украинской, белорусской и южнорусской традиции. Это косвенно указывает, что родоначальник мог быть выходцем с запада или юга России, где подобные бессуффиксные фамилии встречаются чаще, чем на севере.

Итог: с высокой вероятностью фамилия Люта — топонимическая, от названия реки или деревни с балтийским корнем «мокрый». Вторая версия (от «львицы») существует, но документально и лингвистически подтверждена слабее.