Фамилия Максаев — это отчество, образованное от личного имени Максай. Само имя Максай имеет как минимум два объяснения, и оба ведут в разные культурные традиции.

Первая и самая прямая версия: Максай — это чеченская народная форма крестильного имени Максим. Греческое слово «максимос» означает «величайший», «огромный». В этом случае фамилия Максаев — типичный пример того, как православное имя, пройдя через местный говор, дало начало новой фамилии. Такие трансформации обычны для окраин Российской империи, где соседствовали разные языки и обычаи.

Вторая версия выводит имя Максай из арабского корня. Здесь оно считается диалектным вариантом имени Магсум (Максум). Значения у этого имени богатые: «безгрешный», «безвинный», «целомудренный», «не имеющий недостатков», а также «хранимый», «защищённый», «неприкосновенный». Если верна эта гипотеза, то фамилия несёт в себе мусульманский пласт культуры.

Какой бы из путей ни был истинным, механизм образования фамилии один и тот же: к основе Максай добавили типичный русский патронимический суффикс -ев. Такая модель (имя + -ев) в XVI–XVII веках стала главным способом закрепить родовое прозвище: сын, внук или потомок человека по имени Максай — это и есть Максаев.

Спор между двумя версиями разрешить наверняка сложно: обе лингвистически возможны. Но важно другое: фамилия Максаев указывает на предка, которого в быту звали Максаем, — независимо от того, было ли это имя дано при крещении в честь святого Максима или получено как арабское благопожелание.