Фамилия Максимцов — это редкий случай отчества второго порядка, то есть она указывает на внука: Максимцов буквально значит «сын Максимца, внук Максима». Такая цепочка образования — от имени Максим к патрониму Максимец (так в древности называли сына Максима) и далее к фамилии — встречается нечасто. Обычно отчества второго порядка застывали в фамилиях на -инов (вроде Максимов → Максиминов), но здесь суффикс -ов присоединили к уменьшительной или обиходной форме Максимец, где конечное -ц перешло в -ц- перед суффиксом.

Само имя Максим пришло из латинского maximus — «величайший, огромный». В святцах оно закрепилось благодаря нескольким раннехристианским святым, поэтому на Руси имя было распространённым и давало жизнь десяткам фамилий: Максимов, Максимкин, Максимович и более редким, как Максимцов. Последняя фамилия почти не встречается за пределами центральных и северных областей России — в переписях XVIII–XIX веков её фиксировали в основном в Костромской, Вятской и Владимирской губерниях.

Словообразовательная модель с двойным патронимом (Максим → Максимец → Максимцов) говорит о том, что фамилию получили не дворяне, а крестьяне или посадские люди: в крестьянской среде отчества второго порядка нередко закреплялись за целыми семьями, чтобы отличать одну ветвь от другой внутри одного рода. Если ваш предок был Максимцовым, скорее всего, его деда звали Максим, а отца — Максимцем (то есть «Максимовым сыном»), и уже внук пошёл по фамилии, образованной от отцовского прозвища.

В написании фамилии возможны варианты с буквой «ы» (Максимцов) или «и» (Максимцев), но форма с «ы» исторически первична: суффикс -ов после твёрдого согласного ц даёт именно «ы», а не «и». В современных справочниках (в том числе в работах Б. Унбегауна по русским фамилиям) форма Максимцов признаётся канонической, хотя в быту встречается и Максимцев — под влиянием более частого суффикса -ев.