Фамилия Малыжев — редкий случай в русской ономастике, где суффикс указывает на происхождение точнее, чем корень. У неё две основные версии, и обе ведут в разные эпохи и сословия.

Первая и самая прозрачная: основа «малыж» — диалектный вариант слова «малыш». В северных и сибирских говорах (архангельских, вологодских) «малыжом» называли не просто маленького ребёнка, а младшего сына в семье, часто — последнего, «захребетника», который оставался при родителях. Если предок носил прозвище Малыш или Малыж, то его потомки получали фамилию Малыжев по стандартной модели: прозвище плюс притяжательный суффикс -ев (после мягкого согласного «ж»). Таких фамилий — Малышев, Малышков — много, но именно форма Малыжев встречается заметно реже и крепче привязана к Русскому Северу.

Вторая версия сложнее и интереснее. Суффикс -ыж- мог входить в состав прозвища, образованного от глагола «малыжить» — в некоторых говорах это означало «медлить, копаться, делать что-то вяло». Тогда Малыж — человек неторопливый, возможно, флегматичный. Эта версия менее вероятна, потому что глагол редкий и локальный, но полностью исключать её нельзя: прозвища по характеру давали часто, и «Малыж» могло закрепиться именно за таким человеком.

С географией у фамилии всё определённо. По данным переписей и метрических книг XIX — начала XX века, Малыжевы компактно жили в Вологодской и Архангельской губерниях, особенно в Шенкурском и Вельском уездах. На юге и в центре России фамилия почти не встречается — это дополнительный аргумент в пользу северного происхождения от «малыжа»-ребёнка.

Сословный состав обычен для крестьянского Севера: государственные крестьяне, реже — мещане в уездных городах. Дворянских родов Малыжевых нет. Вариант написания с буквой «ы» после «л» (Малыжев, а не Малежев) устойчив и не менялся — это ещё один признак, что фамилия сложилась в живой речи, где «ы» звучало твёрдо, а не под книжным влиянием церковнославянского «е».

Если у вас фамилия Малыжев, то с высокой вероятностью ваши предки — крестьяне или посадские люди Русского Севера, а прозвище родоначальника означало либо «младший сын», либо, с меньшей вероятностью, «медлительный человек».