Фамилия Маркивска звучит как типичная польская или западноукраинская фамилия, и её разбор подтверждает это. Это женская форма фамилии Маркивский (Mарківський, Markowski). В русской традиции такие фамилии обычно передаются через мужскую линию, но в польском и украинском языках жёсткое различие по роду сохраняется: жена или дочь Маркивского будет Маркивска. Поэтому человек с такой фамилией, скорее всего, имеет корни на территории бывшей Речи Посполитой — в Западной Украине, Польше или Беларуси.

Основа фамилии — имя Марко (каноническая форма Марк). Суффикс -ивск- (-овск-, -евск-) указывает на принадлежность к месту или роду. Первоначально такие фамилии давали по названию села или поместья: например, Марков (Маркув, Маркив) — село, владельцем или выходцем из которого был основатель рода. Типичная модель: «человек из Маркова» → Маркивский. Суффикс -ск- в польской ономастике (в отличие от русского -ов) часто носил шляхетский оттенок: такую фамилию мог получить мелкий дворянин, владевший землёй, или житель местечка, чей отец носил прозвище Марко.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые массово давали крестьянам после отмены крепостного права, фамилии на -ский/-цкий в восточнославянских землях дольше сохраняли сословный оттенок. Однако к XIX веку они уже распространились и среди мещан, и среди крестьян, особенно в Галиции, где австрийская администрация ввела обязательные фамилии. Если ваши предки носили фамилию Маркивска, они могли быть как потомками обедневшей шляхты, так и свободными крестьянами-грекокатоликами.

Интересная деталь: написание с «и» (Маркивска, а не Марковска) — это прямая передача украинского произношения. В польском варианте фамилия звучала бы как Markowska (Марковска). Форма Маркивска указывает на то, что предки либо жили на этнической украинской территории, либо фамилия была записана с украинской фонетикой (например, в метрических книгах). Если у вас есть возможность проверить архивные записи, стоит искать мужскую форму Маркивский — именно по ней легче всего найти исторические документы.