Фамилия Мартиник — редкий случай в русском ономастиконе. Её основа не славянская, а западноевропейская, и это сразу отличает её от подавляющего большинства русских фамилий. Скорее всего, в основе лежит не имя Мартин (хотя оно тоже существует в виде фамилии Мартинов), а топоним — название французского острова Мартиника в Карибском море. Такое прозвище мог получить человек, побывавший в заморских колониях, моряк или купец, торговавший с Вест-Индией. В XVIII–XIX веках русские дворяне и офицеры нередко получали «географические» прозвища после заграничных походов или службы на флоте.

Однако есть и более прозаичная версия. В западных губерниях Российской империи (Польша, Беларусь, Украина) фамилия могла возникнуть от польского или украинского варианта имени Мартин — Мартин, Мартын, Мартыник. Суффикс -ик типичен для западнорусских и польских фамилий: он указывает на уменьшительную форму, то есть Мартиник — это «маленький Мартин» или «сын Мартина». В этом случае фамилия — ровесница крестьянских фамилий, которые массово закреплялись после отмены крепостного права.

Сама модель образования проста: основа (Мартин) + уменьшительный суффикс -ик. В русском языке этот суффикс редко даёт фамилии (обычнее -ов/-ев или -ин), но в польском и украинском он один из главных. Поэтому географически фамилия Мартиник тяготеет к западным регионам бывшей Речи Посполитой, а не к центральной России. Встречается она и у белорусов, и у поляков, и у украинцев, причём ударение может падать на последний слог (Мартини́к) или на первый (Ма́ртиник) — в зависимости от местной традиции.

Если ваш предок носил эту фамилию, велика вероятность, что он был выходцем из западнорусских или польских земель, а его родовая память уходит либо к имени Мартин, весьма популярному в католических странах, либо к необычной связи с далёким карибским островом. Второе, конечно, экзотичнее, но первое — статистически вероятнее.