Фамилия Медня — редкий случай, когда основа не имеет однозначного толкования и может указывать на разные корни. В отличие от распространённых фамилий на -ов или -ин, здесь работает суффикс -я, который в русской антропонимии часто образует краткие прозвища или прилагательные, перешедшие в фамилии без дополнительных родовых окончаний. По модели это напоминает фамилии вроде Сухорукий или Кривошея, но с той разницей, что Медня, скорее всего, застыла в именительном падеже единственного числа женского рода.

Первая и самая очевидная версия — связь с прилагательным «медный». Прозвище Медня могли дать человеку с рыжими волосами цвета меди, медных дел мастеру (кузнецу-меднику) или тому, кто жил возле медных рудников. В говорах слово «медня» встречается и как название медной монеты или мелкого медного предмета — отсюда прозвище могло достаться человеку, который постоянно носил с собой медяки или торговал мелочью.

Вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование, — происхождение от гидронима или топонима. В бассейне Днепра и в центральной России встречаются речки с названием Медня (от балтийского или славянского корня со значением «лес» или «мед»). В этом случае фамилия могла возникнуть у выходца из села или деревни Медня — такие населённые пункты есть в Калужской и Смоленской областях. Тогда фамилия отвечает на вопрос «откуда человек» и не связана с профессией или внешностью.

Третья, более спорная гипотеза — связь с диалектным глаголом «меднить» (медлить, тянуть). Прозвище Медня могли дать нерасторопному или задумчивому человеку. Однако эта версия слабее других: глагольные прозвища в русской традиции обычно оформлялись через суффикс -ай или -уй (Медляй, Медлюн), а форма на -ня для них нехарактерна.

По географии фамилия Медня встречается крайне редко, в основном на западе России и в Беларуси. В списках дворянства и купечества она не отмечена — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвище было единственным различительным знаком до введения обязательных паспортов.