Фамилия Медвежов — редкий случай, когда привычное всем слово «медведь» дало не самую очевидную форму. Вместо распространённого Медведев мы видим Медвежов, и разница здесь не в ошибке, а в суффиксе и, скорее всего, в регионе бытования.

Словообразовательная модель проста: основа «медвеж-» (от древнерусского «медвѣдь», где корень «мед-» и «-ѣдь» — «едящий мёд») плюс суффикс -ов. Суффикс -ов в русских фамилиях указывает на принадлежность: чей? — Медвежов, то есть сын или потомок человека по прозвищу Медвеж. Но почему именно «медвеж», а не «медведь»? В русских говорах, особенно северных и сибирских, слово «медведь» часто произносили как «медвежь» или «медвежа». Отсюда и прозвище Медвеж — так могли назвать крупного, сильного, неуклюжего человека, либо, наоборот, охотника на медведей. В некоторых диалектах «медвежом» называли самого зверя, и прозвище закреплялось за человеком напрямую.

Фамилия Медвежов — яркий пример того, как живая народная речь обошла литературную норму. В центральных губерниях, где закрепилась форма Медведев, суффикс -ев присоединился к основе на мягкий согласный «д». А в говорах, где «д» перешло в «ж» (явление, известное как цоканье или просто фонетическое изменение), возникла форма Медвежов. Поэтому географически эта фамилия тяготеет к северу России: Архангельская, Вологодская области, а также к Уралу и Сибири, куда переселенцы принесли свои говоры. Встречается она и в старых казачьих списках, например, на Дону, где тоже были свои особенности произношения.

По сословному происхождению Медвежовы, скорее всего, крестьяне или посадские люди. Фамилия не дворянская, не книжная. В документах XVIII–XIX веков можно найти крестьян Медвежовых в Вятской, Пермской, Костромской губерниях. Встречается и вариант написания через «о» под ударением — Медвежов, и безударный — Медвежов (что в бытовой записи иногда путали с Медвежевым). Но именно форма с «ж» и суффиксом -ов — признак живой диалектной традиции, а не канцелярской ошибки.

Таким образом, если ваша фамилия Медвежов, ваши предки, скорее всего, жили на Русском Севере или в Сибири, и их прозвище звучало не по-книжному, а по-народному: не Медведь, а Медвеж. Это не «испорченный» Медведев, а самостоятельная, более редкая и диалектная ветвь той же медвежьей темы.