Фамилия Мелиховская — из тех, что сразу выдают своего носителя: это не прозвище, не ремесло, а «географическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта. Конкретно — от топонима Мелихово, которых в России и на Украине десятки. Суффикс -ский указывает на то, что фамилия пошла от помещичьей или дворянской среды, где было принято называть людей по имени их владения. Крестьянам в таких случаях чаще давали фамилии на -ов или -ин, а вот -ский закрепился за теми, кто владел землёй или служил при усадьбе. Так что первый и самый вероятный смысл фамилии Мелиховский — «выходец из Мелихова» или «принадлежащий к роду, владевшему Мелиховым».

Основа фамилии — имя Мелих, уменьшительная форма от Мелентий (греч. «заботливый») или от Мелетий (от греч. «попечение»). В народе такие имена часто сокращали до Мелих, Мелиха, отсюда и пошло название деревень. Встречается и версия, что Мелихово могло произойти от прозвища Мелих — человека, который «мелет» языком, то есть болтуна, но это менее убедительно: топонимы обычно образовывались от личных имён, а не от качеств.

С географией у фамилии всё просто: самые известные Мелихово — в Чеховском районе Подмосковья (та самая усадьба Антона Павловича) и в Калужской области. Но фамилия Мелиховский не привязана к какому-то одному региону — она встречается и в центральной России, и на Украине, и в Беларуси. Это говорит о том, что одноимённых сёл было много, и фамилия возникала в разных местах независимо.

В сословном плане Мелиховские — это не обязательно дворяне. Среди носителей фамилии были и священники (семинарские фамилии часто давали по названию села, откуда родом), и мещане, и казаки. Ударение в фамилии обычно падает на второй слог: Мелихо́вский, хотя в некоторых говорах могут произносить и Ме́лиховский — это уже влияние местного диалекта.

Коротко: если вы Мелиховский, ваши предки скорее всего происходили из деревни Мелихово, а сама фамилия — признак того, что род был либо служилым, либо владельческим, но точно не случайным.