Фамилия «Минаем» — редкий случай, когда русская фамилия образована не от отчества, а от формы глагола. В её основе лежит не имя и не прозвище, а повелительное наклонение глагола «минать» — устаревшего слова со значением «обходить», «избегать», «уклоняться». То есть в буквальном смысле фамилия звучит как приказ: «Минай!» — «Обходи!», «Сторонись!».

Такие фамилии от глагольных форм в русском языке встречаются, но редко. Обычно они закреплялись за человеком, который постоянно употреблял это слово в речи — как командир, наставник или просто человек с привычкой поучать. Возможно, предок носителя фамилии был строгим распорядителем, приказчиком или старшим в артели, который часто покрикивал: «Минай!». Со временем это слово-паразит превратилось в уличное прозвище, а затем и в фамилию, которую зафиксировали в документах.

Фамилия «Минаем» — это форма творительного падежа (кем? чем?). Такое окончание характерно для украинской или южнорусской традиции, где фамилии нередко склоняли как существительные мужского рода. В русском языке она могла бы звучать как «Минаев» (от имени Минай), но здесь мы видим иной механизм: не отчество, а застывшая глагольная конструкция.

Поскольку фамилия крайне редкая, её география узкая. Она могла возникнуть в среде однодворцев или казачества — там, где прозвища часто давали по характерным фразам и командам. Встретить «Минаем» можно скорее в документах XIX — начала XX века по Курской, Воронежской или Харьковской губерниям.