Фамилия Минцинский — один из тех случаев, когда польский суффикс не оставляет сомнений в географии происхождения. Окончание -ский (в польском варианте -ski) указывает на шляхетское или, шире, дворянское происхождение. Такие фамилии в Польше и на западе Российской империи получали владельцы поместий, а их потомки — по названию родового имения. Минцинские, скорее всего, происходят из населённого пункта с корнем «Минц-» или «Минтс-». На карте Польши, Литвы и Беларуси встречаются деревни Минце, Минты, Минцовичи. Основа могла быть и от личного имени — например, от Минько (уменьшительное от Дмитрий в белорусском говоре) или от немецкого Mинц (Münz — «монета»), что реже и менее правдоподобно для шляхетской фамилии.

Интересная деталь: в отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, Минцинский — редкая. Она не попала в число типичных русских дворянских родов, внесённых в родословные книги центральных губерний. Вероятно, её носители принадлежали к мелкопоместной шляхте, осевшей на территории современной Беларуси или Литвы. В XIX веке часть Минцинских могла перебраться в центральную Россию или на Украину, но фамилия так и осталась локальной, не став распространённой.

С точки зрения словообразования, тут всё прозрачно: основа Минцин- (от названия Минцы или Минцин) плюс типичный для польско-литовской традиции суффикс -ский. Ударение, судя по аналогиям, падает на второй слог: Минци́нский. Встречается и вариант Минчинский — с чередованием ц/ч, что могло возникнуть из-за местного произношения или ошибки в документах. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни не в глубине России, а в западных губерниях — Виленской, Гродненской или Минской, где такие фамилии встречаются до сих пор.