Фамилия Мирёжин — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычных «профессиональных» или «отчественных» суффиксов вроде -ов или -ин, которые сразу указывают на имя отца. Здесь работает суффикс -ин, но основа — Мирёж(а) — вызывает вопросы. Скорее всего, перед нами прозвище, образованное от глагола «мирить» или существительного «мир» в одном из его старых значений.

Самая прямая версия: Мирёжа — это человек, который мирил, улаживал ссоры, возможно, миротворец в деревне или в семье. В русских говорах слово «мир» означало не только отсутствие войны, но и общину, согласие, а «мирить» — приводить к миру. Суффикс -ёж(а) в прозвищах встречается редко, но он придаёт оттенок действия или свойства: «мирёжа» — тот, кто постоянно мирит, или, наоборот, человек, живущий в мире со всеми. Фамилия закрепилась в форме Мирёжин, то есть «сын Мирёжи».

Альтернативная версия менее вероятна, но её стоит упомянуть: возможно, основа связана с диалектным словом «мирёж» — так в некоторых регионах называли рыбацкую сеть или мережу (снасть для ловли рыбы). Тогда Мирёжа — прозвище рыбака или мастера по плетению сетей. Однако в этом случае ожидалась бы фамилия Мирёжев или Мережин, а форма на -ин указывает на личное имя или прозвище человека, а не на орудие труда.

Географически фамилия почти не встречается в официальных базах данных переписей, что говорит о её крайней редкости. Возможно, она локально бытовала в одной-двух деревнях на севере или северо-западе России, где сохранялись архаичные модели образования прозвищ. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) Мирёжин не упоминается, что подтверждает её нетипичность.

Итог: ваш предок по мужской линии, скорее всего, носил прозвище Мирёжа — либо как уважаемый миротворец в общине, либо, реже, как рыбак с мережей. Фамилия сохранила редкую словообразовательную модель и, вероятно, имеет северное или северо-западное происхождение.