Фамилия Мирежкин почти наверняка — фонетический вариант более распространенной фамилии Мережкин. Такая замена гласной «е» на «и» в первом слоге типична для русских говоров, где после мягких согласных звуки могли произноситься по-разному, а на письме это закреплялось по-разному. Поэтому искать корень нужно не в слове «мир», а в диалектном «мережа» — так в средней полосе России называли рыболовную снасть: сетку, натянутую на обручи, что-то вроде большой верши или ловушки.

Прозвище Мережка, от которого пошла фамилия, относится к разряду «профессиональных» именований. Так в старину могли называть рыбака, который промышлял этим орудием лова, либо мастера, который плел и чинил такие сети. В обоих случаях прозвище указывало на конкретное ремесло, а не на черту характера, что встречается реже, чем прозвища, данные по внешности или поведению. Суффикс «-к-» в прозвище придавал ему уменьшительно-обиходный оттенок: так односельчане могли звать человека, чья работа была у всех на виду.

Сама фамилия образовалась по стандартной модели: к основе Мережка добавили притяжательный суффикс «-ин», который отвечал на вопрос «чей?» и означал «сын Мережки». Форма Мирежкин — это уже позднейшее бытовое искажение, которое закрепилось в документах. Интересно, что в некоторых регионах, особенно на Севере и в Поволжье, где рыболовство кормило целые деревни, такие фамилии были не редкостью, но вариант именно с «и» встречается заметно реже, чем с «е».

В словаре русских фамилий Б. Унбегауна разбираются аналогичные случаи, когда прозвища от названий орудий труда становились основами фамилий, хотя конкретно Мирежкиных он не упоминает. Это не умаляет ценности фамилии, но честно говорить о том, что точное место и время ее возникновения без генеалогического исследования назвать нельзя: процесс формирования фамилий в крестьянской среде растянулся на несколько столетий и шел в разных губерниях неравномерно.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит обратить внимание на архивные записи о промыслах: в исповедных ведомостях и ревизских сказках часто указывали род занятий. Встретив там «рыболова» или «сетевязальщика», вы получите прямое подтверждение версии о происхождении фамилии. Если же записей нет, можно смело опираться на лингвистический анализ: он указывает на то, что основатель рода кормился с воды, а его прозвище закрепилось за детьми и внуками.