Фамилия Митюгаев — редкий случай, где суффикс -ев сам подсказывает историю. В русских фамилиях -ев обычно присоединяется к основам на мягкий согласный или на -й. Но здесь основа — Митюгай, где конечный -й как раз и дал -ев. Если бы фамилия образовалась от имени или прозвища, оканчивающегося на твёрдый согласный, мы бы увидели Митюгагов. Значит, предка звали Митюгай.

Что такое «Митюгай»? Самая прямая версия — это производная форма от канонического имени Дмитрий. Уменьшительных вариантов у него десятки: Митя, Митюха, Митюша, Митяй. Форма Митюгай — редкая, но вписывается в ряд диалектных и просторечных образований на -гай. Сравните: Серёгай (от Сергей), Ванегай (от Иван), Петрягай. Такие прозвища были характерны для северных и центральных областей России, где любили «растягивать» имена суффиксами. В говорах Вологодчины и Архангельской губернии фиксировались формы вроде Митюхай и Митюгай — они звучали грубовато, по-деревенски, но без отрицательного оттенка, скорее как фамильярное обращение.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «митюга» или «митюгай» могло означать не имя, а прозвище по внешности или поведению — например, медлительного, увальня или, наоборот, суетливого человека. Но эта гипотеза слабая: ни в словаре Даля, ни в региональных сборниках такое слово не зафиксировано. Скорее всего, перед нами именно вариант крестильного имени.

Фамилия Митюгаев — относительно молодая. Она не встречается в боярских списках и писцовых книгах XVI–XVII веков. Массово такие фамилии на -ев от «домашних» имён закреплялись в XVIII–XIX веках, когда крестьянам и однодворцам давали фамилии по имени или прозвищу главы семьи. Географически Митюгаевы тяготеют к югу России: по данным современных справочников, наибольшая плотность — в Волгоградской и Ростовской областях, а также в Краснодарском крае. Это объяснимо: переселенцы из центральных и северных губерний несли свои фамилии на юг в XIX веке.

Интересная деталь: в некоторых старых метрических книгах XIX века фамилию писали через «а» — Митюгаев, но встречался и вариант Митюгаевъ с твёрдым знаком на конце. В редких случаях путали с однокоренной фамилией Митюков — та образована от Митюк, ещё одной формы имени Дмитрий. Но Митюгаев стоит особняком: суффикс -ай указывает на более архаичную и диалектную модель словообразования, чем обычное -юк.

Так что, скорее всего, первый Митюгаев был просто Митей, которого в деревне звали Митюгаем. Фамилия не несёт тайного смысла или сословной гордости — зато честно хранит звучание русской провинции XVIII века.