Фамилия Миженная — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а географический объект, причём записанный через украинское произношение. Если слышите в ней что-то «не до конца русское», вы правы: это типичный пример фамилии, сформированной на стыке языков.

Корень здесь — «Мижен», который восходит к топониму Межи́нь (или Межино). В украинском языке, где «и» часто звучит как русское «ы», а «е» переходит в «и» под ударением, название деревни или речки Межинь превратилось в Мижинь. От него и пошла фамилия. Такие «переходные» формы — клад для этимолога: они чётко указывают на регион бытования. Скорее всего, предки носителей фамилии происходят из Черниговской, Сумской или Полтавской областей Украины, где много сел с корнем «меж-» (на границе, между чем-то: рек, лесов, полей).

Суффикс -н- в основе указывает на принадлежность к месту: Миженная — это буквально «та, что из Межини». По словообразовательной модели фамилия аналогична «Заозёрная», «Прибрежная»: сначала возникло прозвище по месту жительства («миженский» → «миженная»), которое затем закрепилось как наследственное имя. Обратите внимание на окончание -ая: это женская форма, но в русской традиции XIX — начала XX века такие фамилии могли передаваться и женщинам, и мужчинам без изменения. В документах мужчина-Миженный встречается реже, потому что форма на -ая в малороссийских говорах была универсальной.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «мижить» — щуриться, смотреть прищурясь. Тогда Миженная — прозвище человека с прищуром или подслеповатого. Но против этого говорит отсутствие в украинских говорах суффикса -енн- для образования прозвищ: он характерен для оттопонимических фамилий, а не для характеристик внешности.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По открытым данным, большинство Миженных живут на юге России и востоке Украины — в Ростовской области, Краснодарском крае, Донецкой и Луганской областях. Это совпадает с зоной активного переселения крестьян из Черниговщины в XIX веке. Сословно предки — скорее всего, государственные или казачьи крестьяне, получившие фамилию по названию родного хутора или слободы.

Если вы ищете свои корни, стоит проверить карты Межинских волостей Черниговской губернии — там, с большой вероятностью, найдётся село, откуда пошла ваша фамилия.