Фамилия Мокар — редкая, но у неё есть прозрачная и логичная основа. Если отбросить типовые русские фамильные суффиксы, сразу бросается в глаза, что типичного окончания -ов, -ин или -ский здесь нет. Перед нами «окающая» фамилия, которая могла закрепиться в южнорусских или украинских говорах, где аканье не свойственно, а звук [о] произносят чётко.

Самая прямая версия: основа «Мокар» — это фонетический вариант имени Макар. В разговорной речи, особенно в диалектах, безударное «а» нередко заменяли на «о»: Макар превращался в Мокар. Имя Макар (от греческого макариос — «блаженный», «счастливый») было на Руси распространённым, и фамилии от него давали часто — Макаров, Макаркин, Макаренко. Мокар — это та же модель, но без суффикса, то есть усечённая форма. Фамилию могли дать человеку, которого в быту звали не полным именем, а сокращённо — Мокар, по тому же принципу, что Гаврил от Гавриил или Кирил от Кирилл.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная для западных регионов: связь с польским или белорусским словом mokry — «мокрый». В таком случае Мокар — прозвище человека, связанного с водой: рыбака, лодочника, того, кто часто промокал на работе. Однако эта гипотеза слабее: прозвища от прилагательного «мокрый» обычно давали в форме Мокрый, Мокряк или Мокроус, а форма Мокар для такого значения нетипична.

Географически фамилия Мокар встречается точечно. Основные следы ведут на Украину и в южные области России, где имя Макар было особенно популярно и где «оканье» в бытовой речи сохранялось дольше. Встречаются единичные носители в Беларуси и Польше — там уже могла сыграть роль вторая версия, но это скорее исключение.

С точки зрения словообразования, Мокар — это «паспортная» фамилия, которая застыла в форме имени. Такие фамилии (без суффиксов) в русской традиции редки, но встречаются: Гаврил, Кирил, Фёдор. Они обычно указывают на то, что фамилия сложилась в среде, где имя использовали как уличное прозвище или где фиксация в документах произошла без добавления родового окончания.

Итог простой: скорее всего, предок носителя фамилии Мокар — человек по имени Макар, которого в его окружении называли на местный манер, с «о» вместо «а». Фамилия не дворянская и не крестьянская по происхождению — она бытовая, из народной речи.