Фамилия Можай — редкий пример, когда географическое название стало фамилией без каких-либо суффиксов, в чистом виде. Это так называемая «топонимическая» фамилия, образованная напрямую от имени города Можайск (или реки Можайки). В русской ономастике такой способ встречается нечасто: обычно к названию места добавляли -ский, -цкий или -ин, чтобы указать на выходца оттуда. Здесь же прозвище «Можай» дали человеку, который пришёл из Можайска или жил на можайской земле, и оно закрепилось как фамилия без изменений.

Корень фамилии восходит к гидрониму — реке Можайке, на которой стоит Можайск. Происхождение самого названия реки спорно. По одной версии, в основе лежит балтийское слово, означающее «маленький» или «небольшой» (сравните с литовским mažas — «малый»). По другой — финно-угорский корень, связанный с водой или болотистой местностью. В любом случае, значение фамилии прозрачно: «тот, кто из Можайска».

Фамилия Можай — непатронимическая, то есть её не образовывали от имени отца или деда. Это сразу отличает её от подавляющего большинства русских фамилий на -ов, -ев или -ин. Встречается она преимущественно в центральных и северо-западных областях России, что логично: Можайск находится в Подмосковье, и выходцы из него расселялись по окрестным землям. Среди крестьян и мещан такая «географическая» фамилия могла возникнуть как альтернатива прозвищу «Можаец» или «Можайский», но по неизвестным причинам закрепилась в краткой форме.

В словарях русских фамилий Можай не упоминается как массовая — это скорее штучный случай. Примерно так же, как фамилии Рязань, Тула или Вологда, она указывает на конкретное место происхождения, но без суффиксальной обработки. Если ваш предок носил фамилию Можай, скорее всего, он был выходцем из Можайска или его окрестностей, и прозвище закрепилось за ним как родовое имя в XVI–XVII веках, когда такие «чистые» топонимы ещё могли переходить в фамилии без изменений.