Фамилия Можайко — редкий случай, когда географическое название почти наверняка легло в основу прозвища, а не наоборот. Корень здесь — «Можай», отсылающий к подмосковному городу Можайск. Но не спешите записывать предков в коренные можайцы: фамилии такого типа часто давали не тем, кто родился в городе, а тем, кто оттуда приехал на новое место. В XVI–XVII веках переселенцы из Можайска и окрестностей расходились по разным уездам, и в документах их могли записать как «Можайко» — то есть «человек из Можайска».

Суффикс «-ко» — украинский или белорусский уменьшительно-притяжательный формант, характерный для западных и южных земель. Встречается он и на русском Северо-Западе, но чаще всего фамилии на «-ко» (Можайко, Смоленко, Тверяк) несут следы переселенческих потоков из западнорусских и малороссийских губерний. Таким образом, Можайко — это не типично московская, а скорее западнорусская или украинская фамилия, возникшая у выходцев из Можайска, осевших в среде, где преобладал суффикс «-ко».

В ономастике есть и другая, менее вероятная версия: от прозвища Можай, которое могло означать «могущий», «сильный» (от древнерусского «мочи» — мочь). Но конкретных подтверждений этому нет, а связь с топонимом лежит на поверхности и подкреплена массой аналогий (Тверяк, Рязанец, Вязьмитин). Если ваши предки носили фамилию Можайко, скорее всего, они были не коренными жителями Можайска, а переселенцами, которым прозвище «прилипло» на новом месте жительства.